解析考研數學考點之中值定理

 　中值定理的證明已經連續三年(2014,2015,2016)沒有考察過，所以今年考查的可能性比較大，請各位2017級的考生要特別注意，同時中值定理的證明也基本上是同學們在考研數學中感覺到比較比較頭疼的事情，因為第一感覺到證明題難度較大，第二個原因就是中值定理比較多，尤其是在加上閉區間上的連續定理，那么加起來有八個定理和一個推理都不知道該如何去選擇，今天我們就集中回顧一下中值定理。

　　中值定理主要指的是費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、格西定理、泰勒中值定理這五個，這四個定理之間的聯系和區別要弄清楚，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況。除泰勒定理外的三個定理都要求已知函數在某個閉區間上連續，對應開區間內可導。柯西中值定理涉及到兩個函數，在分母上的那個函數的一階導在定義域上要求不為零，柯西中值定理還有一個重要應用——洛必達法則，在求極限時會經常用到。而且同學們需要掌握的不單單是這五個中值定理，而且關于他們本身的證明也是需要重點掌握的，尤其是費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、格西定理的證明過程，這個過程在教科書上都有證明的過程，同學們需要自己把這個都完全能夠掌握，不僅僅是因為在09年的真題考查過這個的證明，而是這幾個的證明思想是之后類似題目證明反復使用的。而閉區間上的連續定理主要是指的比較值定理、介值定理、零點存在定理。

　　一般來講閉區間上連續的定理是直接用的，也就是用來直接證明一些類似與存在一點在某個區間內使得某個函數是等于零的。而中值定理的應用一般是需要通過構造函數的，一般來講都是三步走，第一步去構造函數，合理的去構造函數是能夠做出這個證明題目比較比較關鍵的一步，而構造函數的方法一般是通過對要求的那個等式積分得到，同時也要注意兩遍同時乘以一個函數，比如同時乘以ex，因為這個函數積分是不變的，所以會有這個。構造完成后就是第二步去檢驗條件，看是用那個定理，一般來講，如果是求一階的導數等于0優先想到的就是羅爾定理，如果是讓你求高階的一個式子等于零或者等于某個式子，那么優先想到的就是泰勒公式了，因為上面的五個中值定理中，只有泰勒公式是會涉及到高階的，其他的幾個都是一階，如果知道的是一階，比較多也是求解二階的。第三步就是求導驗證自己求出來的是否是要求證明的結果。